考研數(shù)學(xué)之極限、連續(xù)與求極限重點(diǎn)
1.微積分中研究的對(duì)象是函數(shù)。
函數(shù)概念的實(shí)質(zhì)是變量之間確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。變量之間是否有函數(shù)關(guān)系,就看是否存在一種對(duì)應(yīng)規(guī)則,使得其中一個(gè)量或幾個(gè)量定了,另一個(gè)量也就被唯一確定,前者是一元函數(shù),后者是多元函數(shù)。
函數(shù)這部分的重點(diǎn)是:復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)和分段函數(shù)、函數(shù)記號(hào)的運(yùn)算及基本初等函數(shù)與其圖象。
2.極限是微積分的理論基礎(chǔ)。
研究函數(shù)的性質(zhì)實(shí)質(zhì)上是研究各種類型的極限,如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、級(jí)數(shù)等等。由此可見(jiàn)極限的重要性。本章的重點(diǎn)內(nèi)容是極限。既要準(zhǔn)確理解極限的概念、性質(zhì)和極限存在的條件,又要能準(zhǔn)確地求出各種極限。求極限的方法很多,綜合起來(lái)主要有:
⑴利用極限的四則運(yùn)算與冪指數(shù)運(yùn)算法則;
⑵利用函數(shù)的連續(xù)性;
⑶利用變量替換與兩個(gè)重要極限;
⑷利用等價(jià)無(wú)窮小因子替換;
⑸利用洛必達(dá)法則;
⑹分別求左、右極限;
⑺數(shù)列極限轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限;
⑻利用適當(dāng)放大縮小法;
⑼對(duì)遞歸數(shù)列先證明極限存在(常用到“單調(diào)有界數(shù)列有極限”的準(zhǔn)則),再利用遞歸關(guān)系求出極限;
⑽利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限;
⑾利用泰勒公式;
⑿利用定積分求n項(xiàng)和式的極限.
3.無(wú)窮小就是極限為零的變量。
極限問(wèn)題可歸結(jié)為無(wú)窮小問(wèn)題。極限方法的重要部分是無(wú)窮小分析,或說(shuō)無(wú)窮小階的估計(jì)與分析。要理解無(wú)窮小及其階的概念,學(xué)會(huì)比較無(wú)窮小的階及確定無(wú)窮小階的方法,會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小因子替換求極限。
4.連續(xù)函數(shù)或除若干點(diǎn)外是連續(xù)的函數(shù)。
由于函數(shù)的連續(xù)性是通過(guò)極限定義的,所以判斷函數(shù)是否連續(xù)及函數(shù)間斷點(diǎn)的類型等問(wèn)題本質(zhì)上仍是求極限。因此這部分也是本章的重點(diǎn)。要掌握判斷函數(shù)連續(xù)性及間斷點(diǎn)類型的方法,特別是分段函數(shù)在連接點(diǎn)處的連續(xù)性。
函數(shù)的其他許多性質(zhì)都與連續(xù)性有關(guān),因此我們要了解連續(xù)函數(shù)的重要性質(zhì)——有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理,最大值、最小值定理和中間值(介值)定理,并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。
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