2018考研數(shù)學(xué):線性代數(shù)考點結(jié)構(gòu)分析
性代數(shù)的考題與高等數(shù)學(xué)、概率部分考題最大的不同就是,線性代數(shù)的一道考題可能會牽涉到行列式、矩陣、向量等等很多知識點,這是因為線性代數(shù)各個章節(jié)知識之間聯(lián)系非常緊密,知識是一個環(huán)環(huán)相扣且互相融合的。
偉大數(shù)學(xué)家牛頓說自己看的更遠(yuǎn)是因為站在巨人肩膀上,同樣的想要徹底學(xué)好線性代數(shù),只有站在最高點回頭看,線性代數(shù)好像一個個的圓環(huán),大圓環(huán)中還有小圓環(huán),一個環(huán)一個環(huán)的拿出來理順,才算學(xué)好,任何一個環(huán)缺一部分都不完整。
現(xiàn)在總結(jié)下線性代數(shù)的主要考點:
1、行列式——行列式這部分沒有太多內(nèi)容,行列式的重點是計算,利用性質(zhì)熟練準(zhǔn)確的計算出行列式的值。
2、矩陣——矩陣是一個基礎(chǔ),關(guān)聯(lián)到整個線代。矩陣的運算非常重要,尤其不要做非法的運算(因為大家習(xí)慣了數(shù)的運算,在做矩陣運算的時候容易受到數(shù)的影響,所以這個地方大家要把它搞清楚)。矩陣運算里一個很重要的就是初等變換。我們在解方程組,求特征向量都離不開這部分內(nèi)容。這是我們矩陣部分的重點。
3、向量——向量這部分是邏輯性非常強的部分,主要包括證明(或判別)向量組的線性相關(guān)(無關(guān)),線性表出等問題,此問題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)(無關(guān))的概念及幾個相關(guān)定理的掌握,并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。向量組的極大無關(guān)組,等價向量組,向量組及矩陣的秩的概念,以及它們相互關(guān)系也是重點內(nèi)容之一。用初等行變換是求向量組的極大無關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。
4、特征值、特征向量——要會求特征值、特征向量,對具體給定的數(shù)值矩陣,一般用特征方程∣λE-A∣=0及(λE-A)ξ=0即可,抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值(的取值范圍),可用定義Aξ=λξ,同時還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用。有關(guān)相似矩陣和相似對角化的問題,一般矩陣相似對角化的條件。實對稱矩陣的相似對角化及正交變換相似于對角陣。反過來,可由A的特征值,特征向量來確定A的參數(shù)或確定A,如果A是實對稱陣,利用不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交,有時還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2(λ2≠λ1)對應(yīng)的特征向量,從而確定出A.
另外,特征向量就是求齊次方程組的基礎(chǔ)解系,你前面基礎(chǔ)打牢了,這里又不是新的內(nèi)容。
5、二次型——二次型的內(nèi)容是針對于只考數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)三的同學(xué)。二次型只要把其矩陣對應(yīng)寫出來,其問題都可以轉(zhuǎn)化為對稱矩陣的對角型來討論。所以這部分的內(nèi)容又聯(lián)系上前面的內(nèi)容了。把前面的基礎(chǔ)打牢,后面的知識自然就掌握了。
盡管知識結(jié)構(gòu)如此復(fù)雜,但是考研中對線性代數(shù)的考察還是以基本概念、定理為主,考察的能力以運算能力、抽象概括能力、邏輯思維能力,可以說想一次學(xué)好線性代數(shù)幾乎不可能,就像前文提到,一次無法走到最高點,也無法使得每一個環(huán)都完整,因此要踏下心來,耐心思考,反復(fù)多次,從微觀到宏觀,見微知著,才能完成這門學(xué)科的學(xué)習(xí)。
(段喜亮 跨考教育數(shù)學(xué)教研室)
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