2022考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)行列式的計算方法

最后更新時間:2021-06-23 16:49:05
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  2022考研的考生們即將進(jìn)入暑期強化階段,線性代數(shù)是2022考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重要部分,建議考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好的小伙伴早點開始復(fù)習(xí),下面小編整理了2022年考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)行列式的計算方法,一起來看看吧。

  方法1  化三角形法

  化三角形法是將原行列式化為上(下)三角形行列式或?qū)切涡辛惺接嬎愕囊环N方法。這是計算行列式的基本方法重要方法之一。因為利用行列式的定義容易求得上(下)三角形行列式或?qū)切涡辛惺降男再|(zhì)將行列式化為三角形行列式計算。

  原則上,每個行列式都可利用行列式的性質(zhì)化為三角形行列式。但對于階數(shù)高的行列式,在一般情況下,計算往往較繁。因此,在許多情況下,總是先利用行列式的性質(zhì)將其作為某種保值變形,再將其化為三角形行列式。

  例1:浙江大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第一大題第2小題(重慶大學(xué)2004年攻讀碩士研究生入學(xué)考試試題第三大題第1小題)的解答中需要計算如下行列式的值:

  [分析]顯然若直接化為三角形行列式,計算很繁,所以我們要充分利用行列式的性質(zhì)。注意到從第1列開始;每一列與它一列中有n-1個數(shù)是差1的,根據(jù)行列式的性質(zhì),先從第n-1列開始乘以-1加到第n列,第n-2列乘以-1加到第n-1列,一直到第一列乘以-1加到第2列。然后把第1行乘以-1加到各行去,再將其化為三角形行列式,計算就簡單多了。

  解:

  方法2  按行(列)展開法(降階法)

  設(shè)為階行列式,根據(jù)行列式的按行(列)展開定理有

  或

  其中為中的元素的代數(shù)余子式

  按行(列)展開法可以將一個n階行列式化為n個n-1階行列式計算。若繼續(xù)使用按行(列)展開法,可以將n階行列式降階直至化為許多個2階行列式計算,這是計算行列式的又一基本方法。但一般情況下,按行(列)展開并不能減少計算量,僅當(dāng)行列式中某一行(列)含有較多零元素時,它才能發(fā)揮真正的作用。因此,應(yīng)用按行(列)展開法時,應(yīng)利用行列式的性質(zhì)將某一行(列)化為有較多的零元素,再按該行(列)展開。

  例2,計算20階行列式[9]

  [分析]這個行列式中沒有一個零元素,若直接應(yīng)用按行(列)展開法逐次降階直至化許許多多個2階行列式計算,需進(jìn)行20!*20-1次加減法和乘法運算,這人根本是無法完成的,更何況是n階。但若利用行列式的性質(zhì)將其化為有很多零元素,則很快就可算出結(jié)果。

  注意到此行列式的相鄰兩列(行)的對應(yīng)元素僅差1,因此,可按下述方法計算:

  解:

  以上就是計算行列式最基本的兩種方法,接下來介紹的一些方法,不管是哪種,都要與行列式的性質(zhì)和基本方法結(jié)合起來。

  下面是一常用的方法:

  方法3 遞推法

  應(yīng)用行列式的性質(zhì),把一個n階行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式(比如,n-1階或n-1階與n-2階等)的線性關(guān)系式,這種關(guān)系式稱為遞推關(guān)系式。根據(jù)遞推關(guān)系式及某個低階初始行列式(比如二階或一階行列式)的值,便可遞推求得所給n階行列式的值,這種計算行列式的方法稱為遞推法。

  [注意]用此方法一定要看行列式是否具有較低階的相同結(jié)構(gòu)如果沒有的話,即很難找出遞推關(guān)系式,從而不能使用此方法。

  例3,2003年福州大學(xué)研究生入學(xué)考試試題第二大題第10小題要證如下行列式等式:

  (雖然這是一道證明題,但我們可以直接求出其值,從而證之。)

  [分析]此行列式的特點是:除主對角線及其上下兩條對角線的元素外,其余的元素都為零,這種行列式稱“三對角”行列式[1]。從行列式的左上方往右下方看,即知Dn-1與Dn具有相同的結(jié)構(gòu)。因此可考慮利用遞推關(guān)系式計算。

  證明:Dn按第1列展開,再將展開后的第二項中n-1階行列式按第一行展開有:

  這是由Dn-1 和Dn-2表示Dn的遞推關(guān)系式。若由上面的遞推關(guān)系式從n階逐階往低階遞推,計算較繁,注意到上面的遞推關(guān)系式是由n-1階和n-2階行列式表示n階行列式,因此,可考慮將其變形為:

  或

  現(xiàn)可反復(fù)用低階代替高階,有:

  同樣有:

  因此當(dāng)時

  由(1)(2)式可解得:

  證畢。

  [點評]雖然我們從一個行列式中可以看出有低階的相同的結(jié)構(gòu),然后得到一遞推關(guān)系式,但我們不要盲目亂代,一定要看清這個遞推關(guān)系式是否可以簡化我們的計算,如果不

  行的話,就要適當(dāng)?shù)負(fù)Q遞 推關(guān)系式,如本題。

  以上總共給出了計算行列式的3種方法,其中一些是常見的些是最基本的方法,還有一些是特殊但很實用的方法。在課外書中還有其他的一些方法,如:極限法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、差分法、積分法等,但這些方法用處不多,所以不加以介紹。

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