2020考研數(shù)學(xué):復(fù)習(xí)線性代數(shù)的正確路徑

最后更新時間:2019-11-15 14:26:23
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  2020考研臨近,作為考研課程中的公共課程,數(shù)學(xué)作為考研課程中的公共課程,數(shù)學(xué)在其中起著至關(guān)重要的作用。其中對線性代數(shù)來說,相對于高數(shù)是比較簡單的學(xué)科。但是往年考生的得分不是很理想。下面我們具體分析一下線性代數(shù)復(fù)習(xí)方法,一起來看看吧。

  1.綜合掌握“一條主線,兩種運算,三個工具”

  復(fù)習(xí)過程中,綜合掌握“一條主線,兩種運算,三個工具”。一條主線是解線性方程組,線代概念非常多而且相互聯(lián)系,但線代貫穿的主線求方程組的解,只要將方程組的解的概念和一般方法理解透徹,再回過頭看前面的內(nèi)容就非常簡單。兩種運算是求行列式、矩陣的初等行(列)變換,三個工具是行列式、矩陣、向量。其中,向量組線性相關(guān)性是難點,要理解記憶各條定理,理清其中關(guān)系,多做題鞏固知識點。特征向量與二次型雖不難,但年年必考,計算能力要跟上,多做題才能提高正確率。

  2.網(wǎng)狀化知識結(jié)構(gòu),提高綜合分析能力

  線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯,前后聯(lián)系緊密,環(huán)環(huán)相扣,相互滲透,因此解題方法靈活多變,復(fù)習(xí)時應(yīng)當(dāng)常問自己做得對不對,再問做得好不好。只有不斷地歸納總結(jié),努力搞清內(nèi)在聯(lián)系,使所學(xué)知識融會貫通,接口與切入點多了,熟悉了,思路自然就開闊了。

  文章開頭提到了歷年真題中,兩道大題考試內(nèi)容??忌鷳?yīng)注意掌握知識點間的聯(lián)系與區(qū)別,例如向量組的秩與矩陣的秩之間的聯(lián)系,向量的線性相關(guān)性與齊次方程組是否有非零解之間的聯(lián)系,向量的線性表示與非齊次線性方程組解的討論之間的聯(lián)系,實對稱陣的對角化與實二次型化標(biāo)準(zhǔn)形之間的聯(lián)系等。靈活掌握他們之間的聯(lián)系與區(qū)別,對做線性代數(shù)的兩個大題在解題思路和方法上會有很大的幫助。

  3.加強邏輯性,正確簡明敘述表述

  線性代數(shù)對于抽象性與邏輯性有較高的要求,通過證明題可以了解考生對數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度,考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復(fù)習(xí)整理時,應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件,不能張冠李戴,同時還應(yīng)注意語言的敘述表達應(yīng)準(zhǔn)確、簡明。

  4.理解與把握基本概念,熟練運用基本運算

  線性代數(shù)的概念很多,重要的有:代數(shù)余子式,伴隨矩陣,逆矩陣,初等變換與初等矩陣,正交變換與正交矩陣,秩(矩陣、向量組、二次型),等價(矩陣、向量組),線性組合與線性表出,線性相關(guān)與線性無關(guān),極大線性無關(guān)組,基礎(chǔ)解系與通解,解的結(jié)構(gòu)與解空間,特征值與特征向量,相似與相似對角化,二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形,正定,合同變換與合同矩陣。線性代數(shù)中運算法則多,應(yīng)整理清楚不要混淆,基本運算與基本方法要過關(guān),重要的有:行列式(數(shù)字型、字母型)的計算,求逆矩陣,求矩陣的秩,求方陣的冪,求向量組的秩與極大線性無關(guān)組,線性相關(guān)的判定或求參數(shù),求基礎(chǔ)解系,求非齊次線性方程組的通解,求特征值與特征向量(定義法,特征多項式基礎(chǔ)解系法),判斷與求相似對角矩陣,用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。

  5.不要陷入行列式的復(fù)雜計算之中

  行列式是線性代數(shù)中的基本工具,在研究線性方程組和特征值和特征向量時會用到,有些行列式的計算很復(fù)雜,計算量也很大,但考研大綱對這部分內(nèi)容的要求并不高,只是要求會用行列式的性質(zhì)和按行(列)展開定理計算行列式,該部分內(nèi)容不是考試的重點,因此不要在這方面花太多時間,只要掌握基本的公式和計算方法即可。從歷年考研試題分布來看,涉及行列式計算的題型有4種形式:一是單純的行列式計算,即題目給出一個具體行列式,要求計算其值,二是給出一些抽象矩陣(方陣)及相應(yīng)條件,要求計算其矩陣行列式的值,三是在解線性方程組時需要計算其系數(shù)矩陣的行列式的值,四是在求解特征值時可能需要計算特征方程的根,這4種題型考生在復(fù)習(xí)時都要做一些題,掌握其基本解題方法。

  6.抓住線性代數(shù)的核心——矩陣

  矩陣和行列式是研究線性代數(shù)問題的基本工具,尤其是矩陣,它是線性代數(shù)的靈魂,貫穿整個學(xué)習(xí)過程的始終。在求解線性方程組時,主要是通過矩陣的秩來判斷解的存在性和唯一性,具體計算時主要是通過矩陣的初等變換來求其解;在分析討論向量組的線性相關(guān)和線性無關(guān)時,利用矩陣的性質(zhì)來判斷其相關(guān)性和無關(guān)性也是常用的一種方法;在計算特征向量時,一般都是利用矩陣的性質(zhì)或解方程組來求解;在解決二次型問題時,首先是利用矩陣運算將其表達為矩陣乘法形式,然后利用矩陣變換將其化為標(biāo)準(zhǔn)形。由此可知,矩陣是學(xué)習(xí)的重中之重。學(xué)習(xí)矩陣時,一方面要掌握其性質(zhì)并靈活運用到有關(guān)的計算和證明問題中,另一方面要充分結(jié)合其它知識點的學(xué)習(xí)來進一步強化。

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